Matemáticas Financieras 2ed

Este libro explica una materia de las carreras de ciencias económicas o ingeniería que tiene una inmediata y amplia aplicación a situaciones de la vida real. Por lo tanto, resulta conveniente para el estudiante, forjar un sólido conocimiento en la disciplina.

Esta obra ha sido preparada de tal manera que el alumno alcance el entrenamiento necesario para desenvolverse y progresar con ductilidad en el estudio de la materia, respetando los siguientes ejes:

• Tratamiento ameno pero riguroso de la teoría

• Ejercitación práctica con resoluciones comentadas

• Aplicación a problemas del mundo real

• Apoyo en web

Como la matemática financiera es a la vez una herramienta de las finanzas, la obra lo ayudará en el estudio de las Finanzas de la Empresa o los Derivados financieros. Los comentarios en la web a las resoluciones de ejercicios creemos que serán muy útiles para facilitar la comprensión de los temas.

El libro está destinado esencialmente a los estudiantes de las carreras de grado y postgrado, o por ejecutivos financieros y otros profesionales que utilizan la matemática financiera en su labor cotidiana.

En esta nueva edición se han corregido erratas y se agregaron dos nuevos capítulos, el 11 sobre Opciones financieras y el 12 que desarrollar La fórmula de Black & Sholes.

Índice

Prefacio ……………………………………………………………………………………………XIX

Destinatarios ……………………………………………………………………………………….XX

Panorámica de la obra ……………………………………………………………………………XXI

Reconocimientos …………………………………………………………………………………XXIII

Capítulo 1: Introducción

1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras? ………………………………………….. 2

El valor tiempo del dinero: un peso del futuro vale menos que un peso del presente ………… 2

Diferencia entre el interés y la tasa de interés …………………………………………………….. 4

Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital ——- 4

Tasas de interés e inflación ……………………………………………………………………… 4

Tasas de interés y riesgo: un peso con riesgo vale menos que un peso sin riesgo… 5

Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real ……………………………………….. 5

1.2 Revisión de álgebra ……………………………………………………………………………. 6

Factor común ………………………………………………………………………………….. 6

Pasaje de términos ……………………………………………………………………………… 7

Común denominador …………………………………………………………………………… 7

Propiedad distributiva de la multiplicación ……………………………………………………….. 8

Potenciación ………………………………………………………………………………….. 8

Progresiones aritméticas ………………………………………………………………………… 9

Progresiones geométricas: …………………………………………………………………….10

Función exponencial ……………………………………………………………………………11

La función exponencial natural ………………………………………………………………….11

Función logarítmica …………………………………………………………………………….12

Logaritmo natural ………………………………………………………………………………13

Propiedades de los logaritmos: …………………………………………………………………14

Derivadas ………………………………………………………………………………………15

Cálculo de la tasa de interés instantánea ………………………………………………………..15

1.3 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………..16

Capítulo 2: Interés simple

2.1 Introducción ……………………………………………………………………………………18

2.2 Monto a interés simple …………………………………………………………………………18

Marcha del interés simple ……………………………………………………………………….19

Fórmulas derivadas del monto a interés simple …………………………………………………..19

Tasa proporcional en el interés simple …………………………………………………………..21

¿Año de 360 días o año de 365 días? …………………………………………………………..22

Interés civil y comercial …………………………………………………………………………22

Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real …………..23

Análisis de las funciones monto e interés acumulado …………………………………………….25

Análisis del rendimiento efectivo …………………………………………………………………26

Plazo medio ………………………………………………………………………………….27

Tasa media …………………………………………………………………………………….28

2.3 Descuento simple ……………………………………………………………………………..29

Descuento racional y tasa de interés vencida …………………………………………………….29

El descuento racional: …………………………………………………………………………30

Marcha del descuento racional ………………………………………………………………….31

Fórmulas derivadas del descuento racional ………………………………………………………31

El descuento comercial y la tasa “anticipada” o “adelantada” ………………31

La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal ……….34

Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación —–.34

Cuadro de marcha del descuento comercial …………………………………………………….35

Fórmulas derivadas del descuento comercial …………………………………………………….36

Análisis del descuento comercial ………………………………………………………………..36

Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento ……….37

Acerca de la controversia entre “descuento” y “actualización” …………38

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos ………39

Vencimiento común …………………………………………………………………………….39

Vencimiento medio ……………………………………………………………………………..40

Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial …41

2.5 Resumen ……………………………………………………………………………………….44

2.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………..44

2.7 Problemas ……………………………………………………………………………………..45

Ejercicios de descuento simple …………………………………………………………………47

2.8 Respuesta a las preguntas …………………………………………………………………….49

2.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………….49

2.10 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………55

Capítulo 3: Interés compuesto

3.1 Introducción ……………………………………………………………………………………58

3.2 Monto a interés compuesto ……………………………………………………………………58

Características principales del interés compuesto ………………………………………………..60

Marcha del interés compuesto ………………………………………………………………….60

Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía ………………………………………61

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto ……………………………………………..62

Intereses acumulados …………………………………………………………………………62

Aplicaciones del interés compuesto en la vida real ……………………………………………….63

Rendimientos de las Bolsas en Latinoamérica y EE. UU. ……………..63

El interés compuesto y las medias geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo ……67

Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto……67

Análisis de la funciones monto e interés acumulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Comparación entre el monto simple y el monto compuesto ……………….69

Monto fraccionario …………………………………………………………………………….70

La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto ……71

Una clasificación para el régimen compuesto …………………………………………………….72

3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida …………………………………………..72

Análisis de la función del valor presente utilizando derivadas ……………….74

3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada …………………………………………………..74

Fórmula del número de períodos ……………………………………………………………….76

Análisis del descuento compuesto con tasa anticipada …………………………………………..76

Comparación del interés y el descuento en los regímenes simple y compuesto …77

Relación entre la tasa de interés y la tasa anticipada en el régimen compuesto …78

Equivalencia de capitales en el interés compuesto ……………………………………………….78

Vencimiento común y vencimiento medio ………………………………………………………..79

Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y compuesto …….80

3.5 Resumen ……………………………………………………………………………………….80

3.6 Preguntas ………………………………………………………………………………………80

3.7 Problemas ……………………………………………………………………………………..81

3.8 Respuesta a las preguntas …………………………………………………………………….84

3.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………….85

3.10 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………89

Capítulo 4: Tasas de interés

4.1 Introducción ……………………………………………………………………………………92

4.2 Tasas de interés vencidas ……………………………………………………………………92

Tasa nominal y tasa proporcional ……………………………………………………………….93

Forma de contar los días del año ……………………………………………………………….93

Tasa efectiva …………………………………………………………………………………..93

Tasa equivalente ……………………………………………………………………………….95

Observaciones sobre el concepto de la tasa efectiva …………96

Obtención de la tna a partir de la tea ……………………………………………………………97

Tasa instantánea ……………………………………………………………………………….99

Análisis de la función en —————-101

Teoría matemática del interés ………………………………………………………………… 101

Intereses obtenidos en un infinitésimo de tiempo ………………………………………………. 101

Cálculo de la tasa de interés instantánea ……………………………………………………… 102

4.3 La inflación y la tasa de interés real ……………………………………………………….. 103

Las unidades de inversión …………………………………………………………………… 105

La ecuación de arbitraje de Fisher …………………………………………………………….. 106

Obtención de la tasa real en el régimen continuo ………………………………………………. 106

4.4 Operaciones en moneda extranjera ………………………………………………………… 107

La variación del tipo de cambio …………………………………………………………….. 107

Teoría de la paridad de las tasas de interés ……………………………………………………. 109

Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo ………………………………………………. 110

El efecto de Fisher internacional ……………………………………………………………… 110

4.5 Tasas anticipadas …………………………………………………………………………… 111

Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico …….. 112

La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento …… 112

La tasa equivalente de descuento ……………………………………………………………. 113

Frecuencia de capitalización y las tasas de interés …………………………………………….. 113

El valor límite de la tasas nominales de interés y anticipada ……………………… 114

4.6 Resumen ………………………………………………………………………………….. 116

4.7 Preguntas ………………………………………………………………………………… 116

4.8 Problemas …………………………………………………………………………………… 117

4.9 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 122

4.10 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 123

4.11 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 133

Capítulo 5: Rentas o series uniformes

5.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 136

5.2 Rentas temporarias …………………………………………………………………………. 137

Notación simbólica a utilizar …………………………………………………………………. 137

Una clasificación operativa para las rentas ……………………………………………………. 138

Renta temporaria inmediata de pagos vencidos (valor presente) ……….. 139

Fórmulas derivadas de la renta temporaria inmediata ………………………………………….. 142

Valor de la cuota ……………………………………………………………………………. 142

Número de períodos ………………………………………………………………………… 142

Tasa de interés …………………………………………………………………………….. 144

Renta temporaria inmediata de pagos adelantados …………………………………………….. 144

Resolución de rentas con Excel ………………………………………………………………. 145

Resolución con calculadora financiera Hewlett-Packard HP 12C ………………. 146

Rentas diferidas ……………………………………………………………………………. 146

Rentas anticipadas e imposiciones (valor futuro) ………………………………………………. 147

Imposición de pagos vencidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Imposiciones de pagos adelantados ………………………………………………………….. 149

Diferencia entre una renta anticipada y una imposición ……………………………… 150

5.3 Relación entre las distintas rentas ………………………………………………………….. 151

Renta inmediata e imposición ………………………………………………………………… 151

Cuadro resumen del valor de las rentas temporarias …………………………………………… 152

Análisis y gráficos de las funciones de rentas ………………………………………………….. 153

Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubilación …………………….. 155

Análisis de sensibilidad del valor de una renta con Excel ……………………. 156

5.4 Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación lineal ……… 157

El método de la interpolación lineal …………………………………………………………… 157

5.5 Resumen …………………………………………………………………………………….. 161

5.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 161

5.7 Problemas …………………………………………………………………………………… 161

5.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 165

5.9 Resolución de los problemas ……………………………………………………………….. 166

5.10 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 174

Capítulo 6: Rentas perpetuas y rentas variables

6.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 176

6.2 Rentas perpetuas ……………………………………………………………………………. 176

Renta inmediata de pagos vencidos ………………………………………………………….. 177

Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los dividendos y el costo capitalizado ….. 179

Rentas diferidas ……………………………………………………………………………… 184

Rentas anticipadas …………………………………………………………………………… 184

6.3 Rentas variables temporarias en progresión geométrica ……………………. 185

Renta inmediata con pagos variables vencidos ………………………………………………… 185

Caso especial: que ocurre cuando g=i ………………………………………………………… 187

Rentas variables diferidas …………………………………………………………………….. 187

Rentas variables anticipadas (imposición) ……………………………………………………… 187

6.4 Rentas variables perpetuas en progresión geométrica. . . . . . . . . . . . . . . 188

Renta inmediata, variable, de pagos vencidos ………………………………………………… 188

Críticas al modelo de los dividendos con crecimiento …………………………………………… 190

Crecimiento por fases ………………………………………………………………………… 191

Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 192

Renta variable anticipada …………………………………………………………………… 193

6.5 Rentas variables temporarias en progresión aritmética ……………………… 193

Renta inmediata variable de pagos vencidos ………………………………………………….. 193

Cálculo de la renta inmediata temporaria a través de la diferencia entre dos rentas inmediatas

perpetuas …………………………………………………………………………………… 193

Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 196

Imposición …………………………………………………………………………………… 196

6.6 Rentas variables perpetuas en progresión aritmética ………………………… 196

Renta variable inmediata de pagos vencidos ………………………………………………….. 196

Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 196

Renta variable anticipada …………………………………………………………………….. 197

Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables ………………………………………….. 197

6.7 Resumen …………………………………………………………………………………….. 198

6.8 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 198

6.9 Problemas …………………………………………………………………………………… 199

6.10 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 201

6.11 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 202

6.12 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 207

Capítulo 7: Sistemas de amortización de préstamos

7.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 210

7.2 Sistema francés ……………………………………………………………………………… 210

Cuadro de marcha y fórmulas utilizadas ……………………………………………………….211

Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo …. 214

Método prospectivo ………………………………………………………………………… 214

Imputación de amortizaciones parciales y cálculo del saldo del préstamo ………. 215

Método retrospectivo ……………………………………………………………………….. 215

Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular …………………………. 216

Tiempo Medio de Reembolso ………………………………………………………………… 216

Fondo amortizante …………………………………………………………………………… 218

Intereses periódicos ………………………………………………………………………….. 218

Intereses abonados entre períodos no consecutivos …………………………………………… 219

Resumen de fórmulas para el sistema francés …………………………………………………. 220

Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota ………………….. 222

Sensibilidad de la cuota con respecto a la tasa de interés y al plazo ……….. 224

Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota balloon . . . . 226

Efecto de los gastos y los impuestos en el costo efectivo del préstamo ……… 226

Indexación en el sistema francés ……………………………………………………………… 228

La indexación a partir del ajuste en el capital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

La indexación a partir del ajuste en la tasa de interés …………………………. 230

7.3 Sistema alemán ……………………………………………………………………………… 231

Fórmulas más utilizadas ……………………………………………………………………… 231

Amortización periódica ……………………………………………………………………….. 231

Cuadro de marcha …………………………………………………………………………… 232

Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo ……….. 232

Método prospectivo: ………………………………………………………………………… 232

Método retrospectivo: …………………………………………………………………….. 232

Intereses periódicos ………………………………………………………………………….. 233

Cuota periódica ……………………………………………………………………………… 233

Intereses abonados entre períodos no consecutivos …………………………………………… 233

Resumen de fórmulas ………………………………………………………………………… 235

Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán ………. 235

7.4 Sistema americano ………………………………………………………………………….. 236

Sistema americano tradicional ………………………………………………………………… 237

Cuadro de marcha …………………………………………………………………………… 237

Sistema americano con constitución de fondo de amortización …………………. 238

Comparación del sistema americano de las dos tasas con el sistema francés ….. 238

Sistemas francés, alemán y americano: balance ………………………………………………. 239

7.5 Resumen …………………………………………………………………………………….. 239

7.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 240

7.7 Problemas …………………………………………………………………………………… 241

7.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 243

7.9 Resolución de los problemas ……………………………………………………………….. 244

7.10 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 252

Capítulo 8: Métodos de evaluación de proyectos de inversión

8.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 254

8.2 El período de recupero (payback) ………………………………………………………….. 254

Desventajas del payback …………………………………………………………………….. 254

¿Es utilizado el período de recupero? …………………………………………………………. 255

Período de recupero descontado (discounted payback) ………………………… 255

8.3 El Valor Presente Neto ………………………………………………………………………. 256

Regla de decisión del vpn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Análisis de la función del vpn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular el vpn? …….. 259

El supuesto de la reinversión de fondos en el vpn . . . . . . . . . . 260

8.4 La Tasa Interna de Retorno (tir) …………………………………………………………….. 261

Regla de decisión de la tir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

El supuesto de la reinversión de fondos ……………………………………………………….. 262

Cómo calcular la tir sin ayuda de calculadoras financieras: ………………….. 263

Diferencias y analogías entre el vpn y la tir . . .. . . . . . . . . . 265

8.5 La Tasa Interna de Retorno Modificada (tirm) ………………………………………………. 265

Consideraciones sobre los supuestos de la tirm . . . . . . . 267

8.6 El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo ………………….. 269

Regla de decisión del índice de rentabilidad …………………………………………………… 269

8.7 Algunas complicaciones: cuando el vpn y la tir no coinciden ………………….. 270

Racionamiento de capital y proyectos mutuamente excluyentes ……………… 270

1. El efecto del tamaño de la inversión inicial …………………………………………………… 271

El cálculo de la tir incremental o tasa de Fisher ………………………………………………… 271

2. Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo de fondos ………… 273

3. Diferente vida útil …………………………………………………………………………. 274

Chequeo de la tasa de Fisher con “Solver” ……………………………………………………. 276

Presencia de tir múltiples o tir indeterminada …………………………………………………. 276

¿Cómo calcular la tasa de rentabilidad cuando aparecen tir múltiples o incalculables? …… 280

Proyectos con diferente vida: cuando la regla del vpn puede fallar …….. 280

El método de la anualidad equivalente ………………………………………………………… 281

8.8 Resumen …………………………………………………………………………………….. 282

8.9 Preguntas …………………………………………………………………………………… 282

8.10 Problemas ………………………………………………………………………………….. 285

8.11 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 289

8.12 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 290

8.13 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 299

Capítulo 9: Introducción al análisis de bonos

9.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 302

9.2 Conceptos fundamentales: ¿Qué es un bono?. . . . . . . . . . . . 302

El valor nominal de un bono ………………………………………………………………….. 303

El precio de un bono y su flujo de caja ………………………………………………………… 304

Relación entre el precio y la tasa de interés …………………………………………………… 304

Uso de la función “tabla” de Excel para análisis de sensibilidad del precio ……. 305

Relación entre la tasa del cupón, la tir y el precio del bono ………………………….. 306

Valoración y rendimiento de un bono cupón cero ……………………………………………… 306

La “tir anualizada” …………………………………………………………………………… 307

9.3 Analizando el rendimiento de la inversión en bonos ………………………… 307

La tir (Yield to Maturity) ………………………………………………………………………. 308

Rendimiento corriente (current yield) ………………………………………………………….. 308

Ganancias de capital (capital gain yield) ……………………………………………………….309

Evolución del precio del bono hasta su vencimiento …………………………………………… 310

9.4 Cálculo del rendimiento total esperado (total return) ……………………………………….. 311

El rendimiento total monetario al vencimiento ………………………………………………….. 311

El rendimiento total al vencimiento ……………………………………………………………. 311

Análisis del rendimiento total al vencimiento …………………………………………………… 312

El rendimiento total al vencimiento y el rol de la tasa de reinversión …………………. 312

Análisis de sensibilidad del rendimiento total. . . . . . . . . . . . . . . 312

Rendimiento total esperado para el horizonte de inversión …………………………… 313

.5 Análisis financiero de un bono real: cálculo del rendimiento de un bono latinoamericano..315

Diseño del cash flow y cálculo de la “tir no periódica” con planilla de cálculo …. 315

Cálculo y análisis del retorno total al vencimiento ………………………………………………. 317

9.6 Resumen …………………………………………………………………………………….. 318

9.7 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 318

9.8 Problemas …………………………………………………………………………………… 319

9.9 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 321

9.10 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 321

9.11 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 324

Capítulo 10: Métodos de depreciación

10.1 Introducción ……………………………………………………………………………….. 326

Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 326

Método de la suma de dígitos ………………………………………………………………… 328

Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 329

Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 330

10.2 Comparación de los métodos de depreciación ……………………………………………. 331

10.3 Consideración de la inflación ………………………………………………………………. 332

10.4 Consideraciones económicas de los métodos de depreciación ………………….. 332

10.5 Resumen …………………………………………………………………………………… 333

10.6 Preguntas ………………………………………………………………………………….. 333

10.7 Problemas ………………………………………………………………………………….. 334

Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 334

Método de la suma de dígitos ……………………………………………………………….. 334

Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 335

Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 335

10.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 336

10.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 336

Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 336

Método de la suma de dígitos ……………………………………………………………….. 337

Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 338

Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 339

10.10 Contenido de la página Web de apoyo …………………………………………………… 340

Capítulo 11: Opciones financieras

ContenidosFinanzas 2

11.1 Introducción ……………………………………………………. 342

11.2 Principales tipos de opciones ………………………………………… 342

Activo subyacente ……………………………………………………..343

La prima …………………………………………………………….343

Opciones de compra ……………………………………………………343

Posición del comprador de un call ……………………………………………..343

Valor del tiempo ……………………………………………………….344

El time decay …………………………………………………………345

Posiciones long y short …………………………………………………….345

Posición del vendedor del call ………………………………………………..346

Opciones de venta ……………………………………………………..346

Usted no precisa esperar al vencimiento ………………………………………349

11.3 Factores que determinan el precio de la opción ……………………………. 349

El precio de la acción …………………………………………………..349

El precio de ejercicio ……………………………………………………349

La volatilidad …………………………………………………………350

El tiempo de vida de la opción . . . . . . . .. . . . . . . . . 350

La tasa de interés libre de riesgo ……………………………………………350

Los dividendos ………………………………………………………..351

11.4 Ejercicio de la opción antes de su vencimiento ……………………………. 352

Call sobre acciones que no distribuyen dividendos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Put sobre acciones que no distribuyen dividendos ………………………………..353

El efecto de los dividendos ………………………………………………..353

11.5 La paridad put-call en las opciones europeas …………………………….. 353

11.6 Resumen ……………………………………………………….355

11.7 Preguntas ……………………………………………………… 355

11.8 Ejercicios ……………………………………………………….355

11.9 Respuestas a las preguntas …………………………………………. 356

11.10 Resolución de los problemas ……………………………………….. 356

Capítulo 12: La fórmula de Black & Sholes

12.1 Introducción ……………………………………………………. 358

12.2 Valoración de opciones con la fórmula de Black & Scholes ……………………. 358

¿Qué es la función N(d)? …………………………………………………360

12.3 Volatilidad implícita ……………………………………………….. 361

12.4 Resumen ……………………………………………………….362

12.5 Preguntas ……………………………………………………… 363

12.6 Problemas ……………………………………………………… 363

12.7 Respuestas a las preguntas …………………………………………. 363

12.8 Resolución de los problemas ………………………………………… 363

Referencias bibliográficas …………………………………………….. 365

Glosario ………………………………………………………….. 367

Índice analítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369