INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN SIMBÓLICA Y FACILIDADES MAPLE – 2ª Edición actualizada y ampliada

Descripción

Este libro se enmarca en este contexto conceptual y está dirigido a estudiantes de ciencias, informática e ingenierías en general y pretende servir de apoyo en los aspectos computacionales que aparecen en la investigación en estos campos. Para ello, este libro ofrece una visión computacional de las Matemáticas, desarrollando algoritmos, presentando métodos, implementando procedimientos y mostrando las facilidades del sistema de computación simbólica con el lenguaje de programación Maple (Mathemathic Pleasure – Placer de las Matemáticas) en cada una de los temas tratados.
Este libro aborda cuestiones matemáticas y computacionales en álgebra lineal y no lineal, cálculo en una y varias variables y en ecuaciones diferenciales ordinarias. Comienza con dos capítulos dedicados a las técnicas instrumentales básicas que se van a utilizar. El primero está dedicado a introducir al lector en el sistema de álgebra computacional Maple y, el segundo, en la complejidad algebraica. La obra introduce al lector en temas como: el sistema de álgebra computacional, complejidad algebraica, desarrollo de algoritmos en álgebra lineal y no lineal, facilidades de Maple para: álgebra lineal, cálculo en una y varias variables y ecuaciones diferenciales
Ventajas Competitivas

El libro familiariza al usuario con el uso correcto del lenguaje y razonamiento matemático, le ayuda a fomentar su rigor, orden, claridad y capacidad de síntesis.
Facilita al usuario las técnicas matemáticas necesarias para afrontar y describir un problema técnico en términos matemáticos y resolverlo a través del uso del lenguaje Maple

Conozca

Las bases de la programación en Maple.
Introducción a la teoría de la complejidad algebraica.
Facilidades básicas de Maple en álgebra lineal, cálculo y ecuaciones diferenciales ordinarias.

Aprenda

Cómo desarrollar algoritmos simbólicos en álgebra lineal y no lineal.
Cómo interpretar y analizar los resultados.

AUTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PRÓLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CAPÍTULO 1. INICIACIÓN A LA PROGRAMACIÓN
EN MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. ESTRUCTURA BÁSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. BREVE RECORRIDO POR MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Números, Polinomios y Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Secuencias, Listas y Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3. PROCEDIMIENTOS MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.1. Sintaxis Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.2. Bucles y Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
1.3.3. Programación Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.4. Procedimientos Anidados y Recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4. UN EJEMPLO CONCRETO:
SERIES GEOMÉTRICAS DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . . . . . . . 58
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA
COMPLEJIDAD ALGEBRAICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1. FUNCIONES DE COMPLEJIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2. COMPARACIÓN DE COMPLEJIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3. ESTRUCTURACIÓN DE DATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1. Estructuración de Datos en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.2. Estructuración de Datos en Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.3. Estructuración de Datos en Z[x1, . . . , xr] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4. COMPLEJIDAD DE LA ARITMÉTICA EN
DOMINIOS BÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.1. Complejidad de la Aritmética Clásica en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.2. Algoritmos Avanzados de Multiplicación en Z . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.3. Complejidad de la Aritmética en Z[x1, . . . , xr] . . . . . . . . . . . . . . .80
2.4.4. Preliminares sobre Cuerpos de Fracciones
y Dominios Euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.5. Complejidad de la Aritmética en Cuerpos de Fracciones . . . . . 83
2.5. UN EJEMPLO COMPLETO: ELIMINACIÓN GAUSSIANA . . . . . .84
CAPÍTULO 3. FACILIDADES BÁSICAS DE MAPLE EN
ÁLGEBRA LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1. CÁLCULOS EN ÁLGEBRA LINEAL CON MAPLE . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2. MATRICES Y VECTORES: OPERACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1. Matrices en LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2. Vectores en LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3. MANIPULACIÓN DE MATRICES Y VECTORES . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4. ÁLGEBRA LINEAL CON MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.1. Comandos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.2. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.3. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.4. Diagonalización y Forma Canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.5. El Paquete Student[LinearAlgebra] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5. UN EJEMPLO COMPLETO: ESPACIOS EUCLÍDEOS . . . . . . . . . 124
CAPÍTULO 4. ALGORITMOS SIMBÓLICOS EN
ÁLGEBRA LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.1. EL MÉTODO DIRECTO DE BAREISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2. PRELIMINARES SOBRE CUERPOS FINITOS PRIMOS . . . . . . . 146
4.2.1. El Anillo Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2. Complejidad de la Aritmética Básica en Zm . . . . . . . . . . . . . . . .148
4.3. TEOREMA DE LOS RESTOS CHINOS:
ALGORITMOS DE LAGRANGE Y DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.1. El Teorema de los Restos Chinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
4.3.2. Aplicación en Criptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4. EL MÉTODO HOMOMÓRFICO:
DESCRIPCIÓN GENERAL EN Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4.1. El Proceso Reductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.2. El Proceso Inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5. CÁLCULO HOMOMÓRFICO DEL
DETERMINANTE: CASO Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6. RESOLUCIÓN HOMOMÓRFICA DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.7. EL MÉTODO HOMOMÓRFICO:
DESCRIPCIÓN GENERAL EN Z[x1, . . . , xr] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.7.1. El Proceso Reductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.7.2. El Proceso Inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.7.3. El Cálculo del Determinante en Z[x1, . . . , xr] . . . . . . . . . . . . . . . 182
CAPÍTULO 5. ALGORITMOS SIMBÓLICOS EN
ÁLGEBRA NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . .186
5.1.1. Preliminares Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.1.2. Cálculo del MCD Polinomial Mediante Sucesiones de
Restos Polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
5.2. RESULTANTES DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.1. El Concepto de Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
5.2.2. Cálculo de la Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2.3. Sistemas Bivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
5.3. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
5.3.1. Fase Preparatoria: Factorización Libre de Cuadrados . . . . . . . 210

5.3.2. Fase Reductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.3.3. Fase Inversora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3.4. Fase Reconstructora de Factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.3.5. Algoritmo de Factorización de Berlekamp-Hensel . . . . . . . . . . . 225
5.4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.4.1. Bases de Gröbner: Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.4.2. Bases de Gröbner: Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.4.3. Bases de Gröbner: Cálculo (Algoritmo de Buchberger) . . . . . 235
5.4.4. Aplicación a la Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4.5. Bases de Gröbner: Comandos Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.5. APLICACIÓN A CURVAS ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.5.1. El Espacio Afín y el Espacio Proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.5.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.5.3. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.5.4. Intersección de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.5.5. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.5.6. Un Ejemplo Simple de Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.5.7. Implicitación de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
5.5.8. Curvas con Componentes Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.6. APLICACIÓN AL PROBLEMA DE LA IMPLICITACIÓN . . . . . . 267
5.6.1. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.6.2. Resolución vía Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
CAPÍTULO 6. FACILIDADES BÁSICAS DE MAPLE
EN CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.1. CÁLCULO CON MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.1.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
6.1.2. Límites, Continuidad y Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.1.3. Sumas y Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.1.4. Series de Taylor y de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.1.5. Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.2. PAQUETES PARA CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.3. PLOTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.3.1. Representación de Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.3.2. Representación de Curvas y Supercies en el Espacio . . . . . . .306
6.4. UN EJEMPLO COMPLETO: SERIES DE FOURIER . . . . . . . 314
CAPÍTULO 7. FACILIDADES BÁSICAS DE MAPLE EN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS . . . . . . . . . . .325
7.1. CONSIDERACIONES GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.1.1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden . . . . . . 328
7.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN CON MAPLE . . . . . . . . . . . . 335
7.2.1. Ecuaciones de Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.2.2. Ecuaciones Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.2.3. Ecuaciones Cuasi Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.2.4. Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.2.5. Ecuaciones Lineales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.2.6. Ecuaciones Reducibles a Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.2.7. Ecuaciones en las que Falta la Variable x o la Variable y . . . 367
7.3. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE TRAYECTORIAS . . . . . . . . . . . .370
7.4. ECUACIÓN LINEAL DE ORDEN n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.4.1. Teoría Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.4.2. Ecuación Lineal Homogénea con Coecientes Constantes . . . 379
7.4.3. Ecuación Lineal no Homogénea con Coecientes
Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES . . 391
EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415
ÍNDICE ALFABÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419