Métodos numéricos. Con programas en Python y Java

Los métodos numéricos permiten obtener una solución aproximada a problemas complejos que no se
pueden resolver en forma analítica. La herramienta de los métodos numéricos es la computadora y por lo
general, se deben desarrollar programas en un lenguaje de programación.
De este modo, para cada uno de los métodos numéricos, primeramente, se proporciona una explicación
en forma teórica junto con la forma en que surgen las fórmulas; después, se resuelven ejemplos a detalle,
se presenta un bosquejo del algoritmo que permite resolver problemas del método numéricos en
cuestión, se diseña el programa y se codifica el algoritmo en un lenguaje de programación; los cuales
permiten resolver problemas en forma generalizada.
En los programas desarrollados se utilizó el lenguaje Python para: encontrar raíces de ecuaciones
matemáticas, diferenciación e integración de funciones y la resolución de ecuaciones diferenciales. En
estos casos, los programas permiten resolver todo tipo problemas, sólo es necesario considerar que la
función matemática en cuestión debe capturarse en un lugar determinado del programa, lo cual se indica
con claridad en cada uno de los métodos numéricos.
Se desarrollaron además, programas en el lenguaje Java para las unidades de solución de sistemas de
ecuaciones lineales, interpolación y ajuste de funciones a un conjunto de datos.
Está organizado de tal manera que los estudiantes pueden apropiarse de conocimiento en forma lógica y
ordenada, contiene varios ejemplos que ilustran cada uno de los métodos numéricos; asimismo, al final
de cada unidad de estudio, se plantean problemas que permiten al estudiante practicar lo aprendido en
cada una de las unidades temáticas.

Plataforma de contenidos adicionales . . . . . . . . . . . . IX
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X
Capítulo 1. Introducción a los métodos numéricos. . . 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Importancia de los métodos numéricos. . . . . . . . . 3
1.3 Conceptos básicos: redondeo, cifra significativa,
precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. . . . . . . . . 4
1.4 Errores de redondeo, truncamiento, absolutos,
relativos y porcentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Software de cómputo numérico . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Capítulo 2. Métodos de solución de ecuaciones . . . . 25
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Búsqueda de valores iniciales (tabulación y
graficación). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.3 Métodos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Método de bisección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.3.2 Método de regla falsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
2.4 Métodos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1 Método de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . .50
2.4.2 Método de la secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.5 Método de aproximaciones sucesivas. . . . . . . . . . 62
2.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Capítulo 3. Métodos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Método de Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . 95
3.4 Método de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Método de Inversión de matrices. . . . . . . . . . . . 112

3.6 Método de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Capítulo 4. Diferenciación e integración numérica. .145
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
4.2 Fórmulas de derivación por diferencias finitas . .148
4.3 Diferenciación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
4.4 Métodos de Integración numérica . . . . . . . . . . . .173
4.4.1 Integración por regla del trapecio . . . . . . . . . . 175
4.4.2 Integración método de Simpson. . . . . . . . . . . . 184
4.4.2.1 Integración método de Simpson 1 / 3 . . . . . 186
4.4.2.2 Integración método de Simpson 3 / 8. . . . . . 193
4.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
4.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
Capítulo 5. Interpolación y ajuste de funciones . . . .219
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
5.2 Regresión por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . .220
5.2.1 Algoritmo para ajustar una línea recta a un
conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2.2 Programa para encontrar la ecuación de una línea
recta por el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
método mínimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3 Polinomio de interpolación de Newton . . . . . . . 232
5.3.1 Algoritmo para obtener el polinomio de
interpolación de Newton de un conjunto de n datos
241
5.3.2 Programa básico para encontrar el polinomio de
interpolación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.3.2.1 Observaciones importantes para desarrollar el
programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
5.4 Polinomio de interpolación de Lagrange. . . . . . . 254
5.4.1 Algoritmo para obtener el polinomio de
interpolación de Lagrange de un conjunto de n datos .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.4.2 Programa para encontrar el polinomio de
interpolación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.4.2.1 Observaciones del programa para encontrar el
polinomio de interpolación de Lagrange. . . . . . . . . . 266
5.5 Interpolación segmentada. . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
5.5.1 Algoritmo para obtener los Splines cúbicos de un
conjunto de n datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.5.2 Programa básico para encontrar los Splines
cúbicos de un conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
5.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301
Capítulo 6. Solución de ecuaciones diferenciales . . .315
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318
6.2 Métodos de un paso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321
6.2.1 Método de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.2.1.1 Programa para encontrar el valor aproximado
de una ecuación diferencial por el método de Euler 324
6.2.2 Método de Runge Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.2.2.1 Programa base para encontrar el resultado de
una ecuación diferencial por el método de Runge Kutta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.3 Métodos de pasos múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . .338
6.3.1 Método de Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3.1.1 Programa básico para aproximar una ecuación
diferencial por el método de Adams-Bashforth . . . . 342
6.3.2 Método predictor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.3.2.1 Programa básico para encontrar una
aproximación a una ecuación diferencial por el método
predictor-corrector (Adams-Bashforth-Moulton) . . 349
6.4 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.4.1 Método de Euler en la resolución de sistemas de
ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.4.1.1 Programa básico para encontrar el valor exacto
y aproximado de un sistema de ecuaciones
diferenciales por el método de Euler. . . . . . . . . . . . . 359
6.4.2 Resolución de sistemas de ecuaciones
diferenciales por el método de Runge Kutta de cuarto
orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362
6.4.2.1 Programa para encontrar el valor exacto y
aproximado de un sistema de ecuaciones diferenciales
por el método de Runge Kutta de cuarto orden. . . . 369
6.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372
6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373